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（2011•上海二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1．（1）求几何体ABCD-A1C1D1的体积；（2）求直线BD1与面A1B
题目详情
（2011•上海二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1．（1）求几何体ABCD-A1C1D1的体积；
（2）求直线BD1与面A1BC1所成角的大小．（用反三角表示）
▼优质解答
答案和解析
解（1）VABCD−A1C1D1＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1＝4A1A−
A1A＝
（5分）
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
由题意：B（2，2，0），D1（0，0，4），A1（2，0，4），C1（0，2，4），（7分）
＝(−2，−2，4)，
＝(0，2，−4)，
＝(−2，2，0)，
设面A1BC1的法向量是
＝(u，v，w)，则
取v=2得，
| 2 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
由题意：B（2，2，0），D1（0，0，4），A1（2，0，4），C1（0，2，4），（7分）
| BD1 |
| A1B |
| A1C1 |
设面A1BC1的法向量是
| n |
|
取v=2得，
|
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