若f（x）在R上有二阶连续导数，证明对任意的a＜c＜b，存在ξ∈（a，b），使得f(a)(a−b)(a−c)+f(b)(b−a)(b−c)+f(c)(c−a)(c−b)=12f″（ξ）．

Question

若f（x）在R上有二阶连续导数，证明对任意的a＜c＜b，存在ξ∈（a，b），使得(f(a))/((a−b)(a−c))+(f(b))/((b−a)(b−c))+(f(c))/((c−a)(c−b))=(1)/(2)f″（ξ）．

Answer 1

【方法一】
利用泰勒公式可得，
f(a)＝f(c)+f′(c)(a−c)+(1)/(2)f″(x1)(a−c)2，x1∈(a，c)，
f(b)＝f(c)+f′(c)(b−c)+(1)/(2)f″(x2)(b−c)2，x2∈(c，b)．
将上式结果代入证明等式的左边，得：
　(f(a))/((a−b)(a−c))+(f(b))/((b−a)(b−c))+(f(c))/((c−a)(c−b))
=f(c)[(1)/((a−b)(a−c))+(1)/((b−a)(b−c))+(1)/((c−a)(c−b))]+f′(c)((1)/(a−b)+(1)/(b−a))+(1)/(2)[(c−a)/(b−a)f″(x1)+(b−c)/(b−a)f″(x2)]
=(1)/(2)[(c−a)/(b−a)f″(x1)+(b−c)/(b−a)f″(x2)]．
因为f（x）在R上有二阶连续导数，且(c−a)/(b−a)+(b−c)/(b−a)＝1，
利用连续函数的介值定理可得，
存在ξ∈（x₁，x₂）⊂（a，b），使得
f″（ξ）=(c−a)/(b−a)f″(x1)+(b−c)/(b−a)f″(x2)，
即：存在ξ∈（a，b），使得
(f(a))/((a−b)(a−c))+(f(b))/((b−a)(b−c))+(f(c))/((c−a)(c−b))=(1)/(2)f″(ξ)．
【方法二】
记(f(a))/((a−b)(a−c))+(f(b))/((b−a)(b−c))+(f(c))/((c−a)(c−b))＝(1)/(2)K，则有：
f(a)(b−c)+f(b)(c−a)+f(c)(a−b)−(1)/(2)K(a−b)(b−c)(a−c)＝0．
构造辅助函数：F(x)＝f(a)(x−c)+f(x)(c−a)+f(c)(a−x)−(1)/(2)K(a−x)(x−c)(a−c)，
则有F（a）=F（b）=F（c）=0．         
由罗尔定理可得，
存在ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．  
再次利用罗尔定理可得，
存在ξ∈（a，b），使得F″（ξ）=0，
即：f″（ξ）（c-a）+K（a-c）=0，
即：K=f″（ξ），
从而，存在ξ∈（a，b），使得
(f(a))/((a−b)(a−c))+(f(b))/((b−a)(b−c))+(f(c))/((c−a)(c−b))=(1)/(2)f″(ξ)．