已知函数f(x)＝12x2−x+lnx．（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．

Question

已知函数f(x)＝(1)/(2)x2−x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．f(x)＝(1)/(2)x2−x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．(1)/(2)1122x2−x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．x2−x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．2−x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．

Answer 1

（I）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=x+(1)/(x)-1≥2√(x×(1)/(x))-1=1  （当且仅当x=1时取等号）
∴函数f（x）图象上所有点处的切线的斜率k≥1
∴切线的倾斜角θ满足tanθ≥1，θ∈[0，π）
∴θ∈[(π)/(4)，(π)/(2)）
（II）F（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

a+1−

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(1)/(x)111xxx-1≥2√(x×(1)/(x))-1=1  （当且仅当x=1时取等号）
∴函数f（x）图象上所有点处的切线的斜率k≥1
∴切线的倾斜角θ满足tanθ≥1，θ∈[0，π）
∴θ∈[(π)/(4)，(π)/(2)）
（II）F（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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√(x×(1)/(x))

x×(1)/(x)

x×(1)/(x)x×(1)/(x)111xxx-1=1  （当且仅当x=1时取等号）
∴函数f（x）图象上所有点处的切线的斜率k≥1
∴切线的倾斜角θ满足tanθ≥1，θ∈[0，π）
∴θ∈[(π)/(4)，(π)/(2)）
（II）F（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(π)/(4)πππ444，(π)/(2)）
（II）F（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(π)/(2)πππ222）
（II）F（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(1)/(2)111222x2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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2−(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+(1)/(x)-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(1)/(x)111xxx-（a+1）=(x2−(a+1)x+1)/(x)  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(x2−(a+1)x+1)/(x)x2−(a+1)x+1x2−(a+1)x+1x2−(a+1)x+12−(a+1)x+1xxx  （x＞0）
令g（x）=x²2-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²2-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁1=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＜0，x₂=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(a+1+√((a+1)2−4))/(2)a+1+√((a+1)2−4)a+1+√((a+1)2−4)a+1+√((a+1)2−4)

(a+1)2−4

(a+1)2−4(a+1)2−42−4222＜0，x₂2=(a+1−√((a+1)2−4))/(2)＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(a+1−√((a+1)2−4))/(2)a+1−√((a+1)2−4)a+1−√((a+1)2−4)a+1−√((a+1)2−4)

(a+1)2−4

(a+1)2−4(a+1)2−42−4222＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁1=(a+1+√((a+1)2−4))/(2)＞0，x₂=

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（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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(a+1+√((a+1)2−4))/(2)a+1+√((a+1)2−4)a+1+√((a+1)2−4)a+1+√((a+1)2−4)

(a+1)2−4

(a+1)2−4(a+1)2−42−4222＞0，x₂2=

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问题解析

（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

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（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

考点点评：

本题考查了导数的运算和导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间的方法，分类讨论的思想方法，转化化归的思想方法

名师点评

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本题考点：

利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

本题考点：

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利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

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考点点评：

本题考查了导数的运算和导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间的方法，分类讨论的思想方法，转化化归的思想方法

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考点点评：

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