关于留数在解析点的意义.极限处f(z)的留数的计算根据书上说是计算以ξ＝1／z为变量的某一复变函数在ξ→0时的留数再在前面加个负号就ok了.但是有时候这个函数在ξ→0时是解析的,根据留数

Question

关于留数在解析点的意义.
极限处f(z)的留数的计算根据书上说是计算以ξ＝1／z为变量的某一复变函数在ξ→0时的留数再在前面加个负号就ok了.但是有时候这个函数在ξ→0时是解析的,根据留数定义,留数是在不解析点处才有这不是自相矛盾?或者说留数计算是可以在解析点运算的,只不过解析点留数为0罢了（在区域内的积分就是在捉这些留数不为0的鱼,为零的是水）.所以在解析域内只要计算不解析点就可以.这种理解是否正确?求复变大大解答.

Answer 1

水逼试应该来讲,解析函数的每个点（即使解析点）都是有留数的,只是留数为不为0的问题.而∞点是一个比较特殊的点,即使函数在∞点解析,其绕∞点的环路积分也不一定为0.这是因为证明柯西定理时我们用到了高数里的格林定理,而格林定理只在有限大小的区域内成立,推广至∞、无限区域,则不成立.另外,对于一般的幂级数展开,z的负指数幂是正则部分,而正指数幂是主要部分（主要部分的性质与函数在该点是否解析有关）.而对于∞点的展开,恰好相反.即正幂次项是主要部分,影响解析性.而∞的留数却仍为负幂项z^-1的系数,导致了两种现象的不统一.请参考吴崇试数学物理方法56页,87页.另：小同数学能力有所下降喔,不要每天打Dota!干点正事,比如教我guitar什么的.