已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N两点．（I）求k的取值范围：（Ⅱ）OM•ON=12，其中O为坐标原点，求|MN|．

Question

已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N两点．
（I）求k的取值范围：
（Ⅱ）

OM

•

ON

=12，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

（Ⅰ）设过点A（1，0）的直线方程：y=k（x-1），即：kx-y-k=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由(|2k-3-k|)/(√(k2+1))=1，解得：k=(4)/(3)．
故当k>(4)/(3)时，过点A（1，0）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=k（x-1），代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得（1+k²）x²-2（k²+3k+2）x+k²+6k+12=0，
∴x₁+x₂=(2(k2+3k+2))/(1+k2)，x₁•x₂=(k2+6k+12)/(1+k2)，
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=k2[(k2+6k+12)/(1+k2)-(2k2+6k+4)/(1+k2)+1]=(9k2)/(1+k2)．
由

OM

•

ON

=12，
得x₁•x₂+y₁•y₂=(10k2+6k+12)/(1+k2)=12，解得：k=0（舍）或k=3，
故直线l的方程为 y=3x-3．
∵圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径，
∴|MN|=2．