某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．（1）sin212°+sin248°+sin12°sin48°（2）sin215°+sin245°+sin15°sin45°（3）sin2（-12°）+sin272°+sin（-12°）sin72°（4）sin2（-15°）+

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²12°+sin²48°+sin12°sin48°
（2）sin²15°+sin²45°+sin15°sin45°
（3）sin²（-12°）+sin²72°+sin（-12°）sin72°
（4）sin²（-15°）+sin²75°+sin（-15°）sin75°
（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ） 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．
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Answer 1

（Ⅰ）选择（2），计算如下：
sin²215°+cos²215°-sin15°cos15°=1-(1)/(2)sin30°=(3)/(4)，故这个常数为(3)/(4)．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+((√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (1)/(2)111222sin30°=(3)/(4)，故这个常数为(3)/(4)．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+((√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444，故这个常数为(3)/(4)．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+((√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²2α+cos²2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+((√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444．
证明：sin²2α+cos²2（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²2α+((√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． ((√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222cosα+(1)/(2)111222sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． 2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²2α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444cos²2α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (1)/(4)111444sin²2α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (1)/(2)111222sin²2α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444sin²2α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)． (3)/(4)333444cos²2α=(3)/(4)． (3)/(4)333444．