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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．①sin210°+cos240°+sin10°cos40°②sin220°+cos250°+sin20°cos50°③sin240°+cos270°+sin40°cos70°④sin2（-15°）+cos215°+sin（-15°）cos15°

题目详情
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°
②sin220°+cos250°+sin20°cos50°
③sin240°+cos270°+sin40°cos70°
④sin2（-15°）+cos215°+sin（-15°）cos15°
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°
②sin220°+cos250°+sin20°cos50°
③sin240°+cos270°+sin40°cos70°
④sin2（-15°）+cos215°+sin（-15°）cos15°
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．
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▼优质解答
答案和解析
（1）∵以下4个式子等于同一个常数，①sin2210°+cos2240°+sin10°cos40°，
②sin2220°+cos2250°+sin20°cos50°，
③sin2240°+cos2270°+sin40°cos70°，
④sin22（-15°）+cos2215°+sin（-15°）cos15°，
而由④可得sin22（-15°）+cos2215°+sin（-15°）cos15°=1-
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sin30°=
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，
故这个常数等于
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（2）由（1）可得 sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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推广可得sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=
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证明：∵sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin2α+(
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sinα)2+sinα[
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=sin2α+
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sin2α=
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∴sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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成立．
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12111222sin30°=
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故这个常数等于
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（2）由（1）可得 sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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推广可得sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=
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证明：∵sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin2α+(
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故这个常数等于
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（2）由（1）可得 sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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推广可得sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=
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证明：∵sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin2α+(
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（2）由（1）可得 sin2210°+cos2240°+sin10°cos40°=
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推广可得sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=
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证明：∵sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin2α+(
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证明：∵sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin2α+(
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证明：∵sin22α+cos22（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin22α+(
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∴sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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34333444cos22α=
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，
∴sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
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成立．
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34333444，
∴sin2210°+cos2240°+sin10°cos40°=
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成立．
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34333444 成立．
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