难度100证明题设a、b、c为三个不同的整数,f(x)为整系数的多项式,求证：不可能同时存在f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a

Question

难度100证明题
设a、b、c为三个不同的整数,f(x)为整系数的多项式,求证：不可能同时存在f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a

Answer 1

如果存在f(x),满足f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a
设 f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+……an*x^n ,其中（a0,a1,a2……an为整数）
不妨设a>b>c
则 f(a)-f(b)=(a0+a1*a+a2*a^2+……an*a^n)-(a0+a1*b+a2*b^2+……an*b^n)
=a1*(a-b)+a2*(a^2-b^2)+……+an*(a^n-b^n)
=(a-b)*(a1+a2*(a+b)+……an(a^(n-1)+a^(n-2)*b+……b^(n-1)))
因为（a1.an均为整数）
所以 f(a)-f(b)能被（a-b）整除
所以 b-c 能被（a-b）整除 所以 a-b