已知a>0,b>0,c>0,求证：根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)

Question

已知a>0,b>0,c>0,求证：根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)

Answer 1

因为（a-b）^2 >=0 ,所以a^2+b^2 >=2ab ,
两边同加a^2+b^2得：2*(a^2+b^2) >=a^2+2ab+b^2
所以 2*(a^2+b^2) >=（a＋b）^2
因为 a>0,b>0
所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2) >=a＋b
即 根号(a^2+b^2) >=a/（根号2）＋b/（根号2）
同理 根号(b^2+c^2) >=b/（根号2）＋c/（根号2）
同理 根号(c^2+a^2) >=c/（根号2）＋a/（根号2）
以上三式相加得：
根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=2*[a/（根号2）＋b/（根号2)＋c/（根号2）]
即 根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)