已知f(x)=根号下1+x2,a≠b,求证∣f(a)-f(b)∣＜∣a-b∣注:x2就是X的平方

Question

已知f(x)=根号下1+x2 ,a≠b,求证∣f(a)-f(b)∣＜∣a-b∣
注:x2 就是X的平方

Answer 1

f(x)=√(1+x^2)
|f(a)-f(b)|=|√(1+a^2))-√(1+b^2)|
=|((1+a^2))-(1+b^2))/(√(1+a^2))+√(1+b^2))|
=|(a+b)(a-b)/(√(1+a^2))+√(1+b^2))|
=|a-b|*|(a+b)|/(√(1+a^2))+√(1+b^2))
≤|a-b|*(|a|+|b|)/(√(1+a^2))+√(1+b^2))
≤|a-b|*(|a|+|b|)/(|a|+|b|)
=|a-b|