设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0,使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：① f(x)=1/x；②f（x）=2的x次方；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx,其

Question

设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0,使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：① f(x)=1/x；②f（x）=2的x次方；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx,其中属于集合M的函数是 ②④（写出所有满足要求的函数的序号）．
为什么是②对的?2的x次方×2=2的(x+1)次方吧?怎么可以2的x次方+2=2的(x+1)次方?

Answer 1

①中,若存在x,使f（x+1）=f（x）+f（1）
则 1/x+1=(1/x)+1
即x2+x+1=0,
∵△=1-4=-3＜0,故方程无解．即 f(x)=(1/x)∉M
②中,存在x=1,使f（x+1）=2x+1=f（x）+f（1）=2x+2成立,即f（x）=2x∈M；
③中,若存在x,使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3
即2x2-2x+3=0,
∵△=4-24=-20＜0,故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）∉M
④存在x= 1/3,使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立,即f（x）=cosπx∈M；
②④