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证明:球面上连接两定点的可微路径中以过这两点的大圆劣弧的长最短
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证明:球面上连接两定点的可微路径中以过这两点的大圆劣弧的长最短
▼优质解答
答案和解析
过一个球上的任意两个定点做圆,则有无数个圆.其中直径最大的圆,就是过球的球心的大圆!
若令这两定点的直线距离为2L,过这两点的圆的半径为r,球的半径为R,则r≤R.
经过这两点的劣弧所对应的圆心角2θ,0＜θ＜π/2
则sinθ=L/r,即θ随r增大而减小,减小而增大,且θ=arcsin(L/r)
又因为过两定点的劣弧长为S=2θr=2r*arcsin(L/r),函数为减函数,即S随r增大而减小!
又因为r≤R,即当r=R时,S最小=2Rarcsin(L/R),即当圆过球心的时候,大圆的劣弧是最小的距离
(证明减函数的时候可以使用求导)
也可以用作图法证明,这个很直观的
若令这两定点的直线距离为2L,过这两点的圆的半径为r,球的半径为R,则r≤R.
经过这两点的劣弧所对应的圆心角2θ,0＜θ＜π/2
则sinθ=L/r,即θ随r增大而减小,减小而增大,且θ=arcsin(L/r)
又因为过两定点的劣弧长为S=2θr=2r*arcsin(L/r),函数为减函数,即S随r增大而减小!
又因为r≤R,即当r=R时,S最小=2Rarcsin(L/R),即当圆过球心的时候,大圆的劣弧是最小的距离
(证明减函数的时候可以使用求导)
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