微分方程解个浓度问题假定一个容器有进水管和出水管两个通路.现在,这个容器中装满浓度为a%的盐水,进水管和出水管均以恒定的速率K同时进水和出水,所进的水系蒸馏水.假定每时每刻容器

Question

微分方程解个浓度问题
假定一个容器有进水管和出水管两个通路.现在,这个容器中装满浓度为a%的盐水,进水管和出水管均以恒定的速率K同时进水和出水,所进的水系蒸馏水.假定每时每刻容器中溶质均匀分布.求在时间为t时,容器中溶质的浓度.

Answer 1

先改写下记号,方便写公式.令b为容器中溶质的浓度,它是关于t的函数,即b=b(t)；然后是k应该指单位时间里通过的体积吧；再设容器内总溶液体积为V.做好这些约定后,根据你的假设条件,可以写出如下的微分关系：
dt时间内在出水口溢出的溶质：-b*k*dt；
它等于dt时间内总体溶质的变化量：d(V*b).
所以d(V*b)=-b*k*dt,其中V,k是常数；
分离变量得到db/b=-k/V *dt,积分解得：ln(b/b0)=-k/V*(t-t0),t0是初始时刻,不妨取作0,b0是初始浓度,即a%；变换后就得到b=a% * e^(-k*t/V)
所以在时间为t时,容器中溶质的浓度为a% * e^(-k*t/V)..
好了,