（2014•武汉五月调考）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（）A．32≤BP＜3B．32≤BP≤3C．233≤BP

Question

（2014•武汉五月调考）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（　　）

A．(3)/(2)≤BP＜√(3)
B．(√(3))/(2)≤BP≤√(3)
C．(2√(3))/(3)≤BP＜√(3)
D．(2√(3))/(3)≤BP＜3

Answer 1

如图，∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=(1)/(2)BC，
又∵AC=3，
∴BC=√(((1)/(2))BC2+AC2)=√((1)/(4)BC2+9)，
则BC=2√(3)．
以P为圆心，BP的长为半径画圆
①如图1，当圆P与AC相切时，PQ⊥AC时，PQ最短，即BP最短．
∵∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴PQ=BP=(1)/(2)PC，
∴BP=(1)/(3)BC=(2√(3))/(3)；

②如图2，当圆P与AC相交时，若交点为A或C，则BP=BC=√(3)，
∵点Q不与点A、C重合，
∴此时BP=PQ＜√(3)．
综合①②可知，BP的取值范围是(2√(3))/(3)≤BP＜√(3)．
故选：C．