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求证:对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.
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求证:对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.
▼优质解答
答案和解析
证明:105=7×5×3
7的剩余系为{0,1,2,3,4,5,6}有7个数
任意8个数必有两个对于7剩余相同
设为a,b,则7|(a-b)
同理:5的剩余有5个数
剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同
设为c,d,则5|(c-d)
对于3的剩余同理可得
有两个数对3剩余相同
设为e,f,则3|(e-f)
这样取到了六个数a,b,c,d,e,f,且满足(a-b)是7的倍数,(c-d)是5的倍数,(e-f)是3的倍数.所以(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.证毕
7的剩余系为{0,1,2,3,4,5,6}有7个数
任意8个数必有两个对于7剩余相同
设为a,b,则7|(a-b)
同理:5的剩余有5个数
剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同
设为c,d,则5|(c-d)
对于3的剩余同理可得
有两个数对3剩余相同
设为e,f,则3|(e-f)
这样取到了六个数a,b,c,d,e,f,且满足(a-b)是7的倍数,(c-d)是5的倍数,(e-f)是3的倍数.所以(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.证毕
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