任意给定2013个自然数,证明其中必有若干个自然数,和是2013的倍数（单独一个数也可当作和）.

Question

任意给定2013个自然数,证明其中必有若干个自然数,和是2013的倍数（单独一个数也可当作和）.

Answer 1

记这2013个数为a1,a2,...,a2013
令Sn = a1 + ...+ an (n=1,2,...,2013)
即Sn为an的前n项和
这样可以得到S1,S2,..,S2013共2013个数.
若其中有某个Sk为2013的倍数,则a1+a2+...+ak的和为2013的倍数,结论得证.
若其中不存在这样的sk,则S1,S2,..,S2013这2013个数除以2013的余数必为1至2012中的某一个.
一共有2013个数,但余数只有2012种情况,根据抽屉原理,至少有两个数除以2013的余数相同,不妨记为sp和sq,并假设p