求以下例题通解（1）dy/dx=e^(2x-y)(2)y(1-x^2)dy+x(1+y^2)dx=0（3）((secx)^2)*cotydx-((cscy)^2)*tanxdy=0

Question

求以下例题通解
（1）dy/dx=e^(2x-y)
(2)y(1-x^2)dy+x(1+y^2)dx=0
（3）((secx)^2)*cotydx-((cscy)^2)*tanxdy=0

Answer 1

（1）dy/dx=e^(2x-y)
dy/dx=e^(2x)/e^y
e^ydy=e^(2x)dx
∫e^ydy=∫e^(2x)dx
e^y=1/2*e^(2x)+C
y=ln[1/2*e^(2x)+C] 其中C是任意常数
（2）y(1-x^2)dy=-x(1+y^2)dx
ydy/(1+y^2)=xdx/(x^2-1)
∫2ydy/(1+y^2)=∫2xdx/(x^2-1)
ln|1+y^2|=ln|x^2-1|+C
1+y^2=C*(x^2-1)
C*x^2-y^2-C-1=0 其中C是任意非零常数
（3）((cscy)^2)tanxdy=((secx)^2)cotydx
((cscy)^2)tanydy=((secx)^2)cotxdx
∫((cscy)^2)tanydy=∫((secx)^2)cotxdx
∫csc(2y)d(2y)=∫sec(2x)d(2x)
ln|csc(2y)-cot(2y)|=ln|sec(2x)+tan(2x)|+C
csc(2y)-cot(2y)=C*(sec(2x)+tan(2x))
(1-cos(2y))/sin(2y)=C*(1-sin(2x))/cos(2x)
tany=C*(1-tanx)/(1+tanx)
tany=C*tan(π/4-x)
y=arctan[C*tan(π/4-x)] 其中C是任意非零常数