高数不定积分的题目∫√（a²-x²）dx=a为实数,怎么积呢?如果是∫√（a²+x²）dx又该怎么积呢

Question

高数不定积分的题目
∫√（a²-x²）dx= a为实数,怎么积呢?如果是∫√（a²+x²）dx又该怎么积呢

Answer 1

第一个设x = a sinθ,dx = a cosθ dθ
∫ √(a² - x²) dx
= ∫ (a cosθ)² dθ
= a²/2 ∫ (1 + cos2θ) dθ
= a²/2 (θ + 1/2 sin2θ) + C
= (a²/2)arcsin(x/a) + (a²/2)(x/a)√(a² - x²)/a + C
= (a²/2)arcsin(x/a) + (x/2)√(a² - x²) + C
第二个设x = a tanθ,dx = a sec²θ dθ
∫ √(a² + x²) dx
= ∫ (a secθ)(a sec²θ) dθ
= a²∫ secθ d(tanθ)
= a²secθtanθ - a²∫ tanθ d(secθ)
= a²secθtanθ - a²∫ tanθ secθtanθ dθ
= a²secθtanθ - a²∫ secθ(sec²θ - 1) dθ
= a²secθtanθ - a²∫ sec³θ dθ + a²∫ secθ dθ
==> ∫ √(a² + x²) dx = (a²/2)secθtanθ + (a²/2)ln|secθ + tanθ| + C
= (a²/2)(x/a)√(a² + x²)/a + (a²/2)ln|x/a + √(a² + x²)/a| + C
= (x/2)√(a² + x²) + (a²/2)ln|x + √(a² + x²)| + C
还有一种,∫ √(x² - a²) dx,可以设x = a secθ,分为x < - a或x > a来做.