当x趋向于0,sin（3x+x^2）与x比较是（）A、较高阶的无穷小量B、较低阶的无穷小量C、等价无穷小量D、同阶但不等价的无穷小量

Question

当x趋向于0,sin（3x+x^2）与x比较是（ ）
A、较高阶的无穷小量 B、较低阶的无穷小量 C、等价无穷小量 D、同阶但不等价的无穷小量

Answer 1

本题计算极限lim x趋向于0 sin（3x+x^2）/x
x趋向于0时,sin(3x+x^2)和x均趋向于0,属于0/0型极限,可以使用L'Hospital法则,分子分母都取导数
lim x趋向于0 sin（3x+x^2）/x
=lim x趋向于0 [cos(3x+x^2)(3+2x)]/1
=3
L'Hospital法则适用于0/0型和无穷大/无穷大型极限计算,分子分母同时求导数,如果结果仍然是0/0型和无穷大/无穷大型,则继续分子分母同时求导数.
比值为0时,分子是分母的高阶无穷小量,比值为无穷大时,分母是是分子的高阶无穷小量,比值在为有限值时,分子分母同阶,特别的,比值为1,分子分母等价.
故此题选D.