（2014•闵行区三模）已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=45，D为边AC上的动点（不与A、C重合），过D作DE∥BC，交边AB于点E，过D作DF⊥BC，垂足为F，联结BD，设CD=x．（1）如果梯形EBFD的面

Question

（2014•闵行区三模）已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=(4)/(5)，D为边AC上的动点（不与A、C重合），过D作DE∥BC，交边AB于点E，过D作DF⊥BC，垂足为F，联结BD，设CD=x．
（1）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；
（2）如果△BDF的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，那么当x为何值时，S₁=2S₂；
（3）如果以D为圆心，DC为半径的⊙D与以E为圆心，AE为半径的⊙E相切，求线段DC的长．

Answer 1

（1）在Rt△CDF中，
∵sinC＝(4)/(5)，CD=x，
∴DF＝CD•sinC＝(4)/(5)x，CF＝√(CD2−DF2)＝(3)/(5)x．
∴BF＝18−(3)/(5)x．
∵DE∥BC，
∴(ED)/(BC)＝(AD)/(AC)．
∴ED＝(BC•AD)/(AC)＝(18•(15−x))/(15)＝18−(6)/(5)x．
∴S＝(1)/(2)•DF•(ED+BF)＝(1)/(2)•(4)/(5)x•(18−(6)/(5)x+18−(3)/(5)x)＝−(18)/(25)x2+(72)/(5)x，0＜x＜15．

（2）如图1，过点B作BG⊥DE的延长线与D，则BG为△DBE的高，

∵DE∥BC，
∴BG=FE，
∴△DBF与△DBE等高，
∴S₁：S₂=BF：ED，
∵S₁=2S₂，
∴BF=2ED，
∴18−(3)/(5)x＝2•(18−(6)/(5)x)，
解得，x=10，即当x=10时，S₁=2S₂．

（3）如图2，过A作AH⊥BC，垂足为H．

在Rt△AHC中，
∵AC=15，sinC＝(4)/(5)，
∴CH=9．
∵BC=18，
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH，
∴AB=AC=15．
∵DE∥BC，
∴(AE)/(AB)＝(AD)/(AC)，
∴AE=AD=15-x．
由题意，R_⊙D=DC=x，R_⊙E=AE=15-x，DE＝(6)/(5)(15−x)．
①当⊙D与⊙E外切时，
∵DE=R_⊙D+R_⊙E，
∴(6)/(5)(15−x)＝x+15−x
解得，x＝(5)/(2)．
②当⊙D与⊙E内切时，
∵DE=|R_⊙D-R_⊙E|，
∴(6)/(5)(15−x)＝|x−15+x|
解得，x1＝(165)/(16)，x2＝−(15)/(4)（负值舍去）．
综上所述，两圆相切时，线段DC的长为(5)/(2)或(165)/(16)．