如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx（x>0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC，S△PBC=4．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）

Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(m)/(x)（x>0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC，S_△PBC=4．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O为AB的中点，即OA=OB，
∵S_△PBC=4，即(1)/(2)OB×PB=4，
∵P（n，2），
∴PB=2，
∴OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），A（-4，0）．
将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：

-4k+b=0

4k+b=2

，解得：

k=(1)/(4)

b=1

．
∴一次函数解析式为y=(1)/(4)x+1；
将P（4，2）代入反比例解析式得：2=(m)/(4)，解得：m=8，
∴反比例解析式为y=(8)/(x)．
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形．
过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，如图所示．

令一次函数y=(1)/(4)x+1中x=0，则有y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵CD∥x轴，
∴设点D坐标为（x，1）．
将点D（x，1）代入反比例解析式y=(8)/(x)中，得：1=(8)/(x)，
解得：x=8，
∴点D的坐标为（8，1），即CD=8．
∵P点横坐标为4，
∴BP与CD互相垂直平分，
∴四边形BCPD为菱形．
故反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，1）．