如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的

Question

如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作 O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求 O的面积与菱形ABCD的面积之比．

Answer 1

（1）∵EF是 O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°．
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；

（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是 O的直径，∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，
∴DG=GE，
∴

DG

=

GE

，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI；
②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，∴EI=EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE=(1)/(2)BD=n，AE=(1)/(2)AC=m，FD=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n²+（2m）²=（3m）²，
即n=√(5)m，
∴S _O=π（(3m)/(2)）2=(9)/(4)πm²，S_菱形ABCD=(1)/(2)•2m•2n=2mn=2√(5)m²，
∴S _O：S_菱形ABCD=(9√(5)π)/(40)．