多边形中对角线的条数d与边数n有什么函数关系?一道初三补充习题上的题.

Question

多边形中对角线的条数d与边数n有什么函数关系?
一道初三补充习题上的题.

Answer 1

◎ n边形中,第一点连接其他点他点,得到n─3条对角线.
→ n边形中,由第二点连接其他点他点,得到n─3条对角线；由第三点连接 其他点他点,得到n─4条对角线；由第四点连接其他点他点,得到n─5条对角线；、、、以此类推,每当多一点连接其他点时,都会比前面少1条对角线,直到只剩1条对角线为止.
◎任意n边形,对角线的总和＝
（n-3）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+（n-6）+、、、+3+2+1
而由上式以及等差数列公式可以知道：
（n-3）+【（n-3）+1】×（n-3）÷2
＝（n-3）+【（n-2）（n-3）】÷2
＝【2（n-3）】÷2+【（n-3）（n-2）】÷2
＝（n-3）【2+（n-2）】÷2
＝【（n-3）n】÷2
另解
◎後来又经过多次探讨,我们又发现：在任意n边形中,
n＝4：对角线总和＝1+1＝2＝（2+2）×1÷2＝4×1÷2
n＝5：对角线总和＝2+2+1＝2+3＝（2+3）×2÷2＝5×2÷2
n＝6：对角线总和＝3+3+2+1＝2+3+4＝（2+4）×3÷2＝6×3÷2
n＝7：对角线总和＝4+4+3+2+1＝2+3+4+5＝（2+5）×4÷2＝7×4÷2
n＝8：对角线总和＝5+5+4+3+2+1＝2+3+4+5+6＝（2+6）×5÷2＝8×5÷2
n＝9：对角线总和＝6+6+5+4+3+2+1＝2+3+4+5+6+7＝（2+7）×6÷2＝9×6÷2
由上面发现：
1. 它是一个首项为2,公差是1的等差数列
2. 又从上得知：四边形有1个项数,五边形有2个项数,六边形有3个项数,以此类推,最後,我们观察出项数是：四边形的项数是4-3＝1；五边形的项数是5-3＝2；六边形的项数是6-3＝3→若是n边形,项数即n-3
3. 後来我们又发现（首项＋末项）刚好＝n-3
由上面三点我们可以将公式归纳成：
对角线总和＝（首项+末项）×项数÷2＝n×（n-3）÷2