已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,且a,b,c,d均为正数,试判断a,b,c,d为边的四边形是什么形状,请说明理由

Question

已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,且a,b,c,d均为正数,试判断a,b,c,d为边的四边形是什么形状,请说明理由

Answer 1

因为 a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
所以 a^4+b^4+c^4+d^4--4abcd=0
(a^2--b^2)^2+(c^2--d^2)^2+2(ab--cd)^2=0
因为 (a^2--b^2)^2; (c^2--d^2)^2与 (ab--cd)^2 都大于等于0,
所以 只有当 (a^2--b^2)^2,(c^2--d^2)^2,(ab--cd)^2 同时为0时,
等式 (a^2--b^2)^2+(c^2--d)^2+2(ab--cd)^2=0 才能成立,
所以 a^2--b^2=0
c^2--d^2=0
ab--cd=0,
因为 a,b,c,d 均为正数,
所以 a=b=c=d,
所以 以 a,b,c,d 为边的四边形是菱形.