如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．

Question

如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；

（2） ∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=√(2)，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=(√(2))/(2)CF=√(2)，
∴AE=CE=√(2)，
∴AC=2√(2)．