如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．

Question

如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是___．

Answer 1

如图1所示，
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=(1)/(2)AE′=2；CQ=DC-CQ=3-2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴(BP)/(AA′)=(BE′)/(AE′)，即(BP)/(6)=(1)/(4)，BP=(3)/(2)，CP=BC-BP=3-(3)/(2)=(3)/(2)，
S_{四边形AEPQ}=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△PCQ-S_BEP=9-(1)/(2)AD•DQ-(1)/(2)CQ•CP-(1)/(2)BE•BP
=9-(1)/(2)×3×2-(1)/(2)×1×(3)/(2)-(1)/(2)×1×(3)/(2)=(9)/(2)，
故答案为：(9)/(2)．