如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B=60°．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）取边AB的中点E，连接DE．求证：四边形DEBC是菱形．

Question

如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B=60°．

（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；                              
（2）取边AB的中点E，连接DE．求证：四边形DEBC是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AD=CD（已知），
∴∠DCA=∠DAC（等边对等角）；
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAC=∠CAB（角平分线的性质），
∴∠DCA=∠CAB（等量代换），
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠CAB=30°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠DAC=30°，
∴∠DAB=30°+30°=60°=∠B，
∴AD=BC（等角对等边）；
∵∠B+∠DAB=60°+60°=120°≠180°
∴AD与BC不平行，…（1分）
∴四边形ABCD是等腰梯形． …（1分）
（2）由（1）知AD=CD，BC=AD，
∴BC=CD（等量代换）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°
∴BC＝(1)/(2)AB＝BE（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴CD=BE（等量代换），
∵DC∥AB（梯形的性质），
∴四边形DEBC是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵BC=CD，
∴四边形DEBC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．