如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作O．（1）求证：AB是O的切线．（2）已知AO角O于点E，延长AO交O于点D，tanD=12，求AEAC的值．（3）在（2）的条件下，

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作 O．

（1）求证：AB是 O的切线．
（2）已知AO角 O于点E，延长AO交 O于点D，tanD=(1)/(2)，求(AE)/(AC)的值．
（3）在（2）的条件下，设 O的半径为3，求AB的长．

Answer 1

（1）过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AE是 O的切线；

（2）连接CE，
∵ED是 O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴(AE)/(AC)=(CE)/(CD)，
∵tan∠D=(1)/(2)，
∴(CE)/(CD)=(1)/(2)，
∴(AE)/(AC)=(1)/(2)；

（3）由（2）可知：(AE)/(AC)=(1)/(2)，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴(AE)/(AC)=(AC)/(AD)，
∴AC²=AE•AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
由（1）可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ABC，
∴(BF)/(BC)=(OF)/(AC)，
设BF=a，
∴BC=(4a)/(3)，
∴BO=BC-OC=(4a)/(3)-3，
在Rt△BOF中，
BO²=OF²+BF²，
∴（(4a)/(3)-3）²=3²+a²，
∴解得：a=(72)/(7)或a=0（不合题意，舍去），
∴AB=AF+BF=(103)/(7)．