如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点C在∠AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．（1）求∠AEC的度数；（2）

Question

如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点C在∠AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．
（1）求∠AEC的度数； 
（2）若C是

AD

的中点，求AF：ED的值；
（3）若AF=2，ED=4，求EF的长．

Answer 1

（1）如图，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠CAD=(1)/(2)∠COD=30°，
∴∠AEC=90°-∠CAD=60°；
（2）设⊙O的半径为R，
∵C是

AD

的中点，
∴OC⊥AD，∠AOC=∠COD=60°，
∴AF=DF，
∴△OAC为等边三角形，
∴AC=OA=R，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，
∴CF=(1)/(2)R，
∴AF=√(3)CF=(√(3))/(2)R，
∴DF=(√(3))/(2)R，
在Rt△ACE中，CE=(√(3))/(3)AC=(√(3))/(3)R，
∴AE=2CE=(2√(3))/(3)R，
∴EF=AE-AF=(2√(3))/(3)R-(√(3))/(2)R=(√(3))/(6)R，
∴DE=DF-EF=(√(3))/(2)R-(√(3))/(6)R=(√(3))/(3)R，
∴AF：ED=(√(3))/(2)R：(√(3))/(3)R=3：2；
（3）连结CD，过点F作AC的垂线，垂足为H，设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
∴AC=√(3)x，AE=2x，
∴EF=AE-AF=2x-2，
在Rt△AFH中，∠HAF=30°，AF=2，
∴FH=1，AH=√(3)，
∴CH=AC-AH=√(3)x-√(3)，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠ADC，
∴∠FCE=∠CDF，
而∠CFE=∠DFC，
∴△CFE∽△DFC，
∴(FC)/(FE)＝(FD)/(FC)，
即FC²=FE•FD=（2x-2）•（2x-2+4）=4x²-4，
在Rt△FCH中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（√(3)x-√(3)）²+1²=4x²-4，
整理得x²+6x-8=0，解得x₁=-3+√(17)，x₂=-3-√(17)（舍去），
∴EF=2x-2=2（-3+√(17)）-2=2√(17)-8．