如图,半圆O中,将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合,角的两条边分别与半圆圆弧交于C,D两点(点C在∠AOD内部),AD与BC交于点E,AD与OC交于点F.(1)求∠AEC的度数;(2)
如图,半圆O中,将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合,角的两条边分别与半圆圆弧交于C,D两点(点C在∠AOD内部),AD与BC交于点E,AD与OC交于点F.
(1)求∠AEC的度数;
(2)若C是的中点,求AF:ED的值;
(3)若AF=2,ED=4,求EF的长.
答案和解析

(1)如图,连接AC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠COD=60°,
∴∠CAD=
∠COD=30°,
∴∠AEC=90°-∠CAD=60°;
(2)设⊙O的半径为R,
∵C是的中点,
∴OC⊥AD,∠AOC=∠COD=60°,
∴AF=DF,
∴△OAC为等边三角形,
∴AC=OA=R,
在Rt△AFC中,∠CAF=30°,
∴CF=R,
∴AF=CF=R,
∴DF=R,
在Rt△ACE中,CE=AC=R,
∴AE=2CE=R,
∴EF=AE-AF=R-R=R,
∴DE=DF-EF=R-R=R,
∴AF:ED=R:R=3:2;
(3)连结CD,过点F作AC的垂线,垂足为H,设CE=x,
在Rt△ACE中,∠CAE=30°,
∴AC=x,AE=2x,
∴EF=AE-AF=2x-2,
在Rt△AFH中,∠HAF=30°,AF=2,
∴FH=1,AH=,
∴CH=AC-AH=x-,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B,
∵∠B=∠ADC,
∴∠FCE=∠CDF,
而∠CFE=∠DFC,
∴△CFE∽△DFC,
∴=,
即FC2=FE•FD=(2x-2)•(2x-2+4)=4x2-4,
在Rt△FCH中,∵CH2+FH2=CF2,
∴(x-)2+12=4x2-4,
整理得x2+6x-8=0,解得x1=-3+,x2=-3-(舍去),
∴EF=2x-2=2(-3+)-2=2-8.
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