xy/根号下（x的平方+y的平方）当x,y都趋近与0时极限存在吗?是多少?为什么存在,怎么判断类似题目?

Question

xy/根号下（x的平方+y的平方）当x,y都趋近与0时极限存在吗?是多少?为什么存在,怎么判断类似题目?

Answer 1

对于任意 x,y ≠ 0,有 x² +y² ≥ 2|xy|,因此
|xy/√( x² +y² )| ≤ |xy|/√|2xy| = √|xy/2|
∴ -√|xy/2| ≤ xy/√( x² +y² ) ≤ √|xy/2|
(x→0,y→0)lim√|xy/2| = 0
根据夹逼定理有：
(x→0,y→0)lim xy/√( x² +y² ) = 0
结论：极限存在,极限值为 0；
分析：该极限之所以存在,是因为x,y趋近于0时,分子是分母的高阶无穷小.
对于双变量极限问题,判断极限存在的条件是x,y 无论从任何方向趋近于给定值,所得到的极限值都相等.
例如xy/( x² +y² ) 当x,y趋近于零时,极限不存在.因为极限值与趋近的方式有关；
如果以y =x方向趋近,则极限值为1/2,若以y=-x方向趋近,则极限值为 -1/2；以y=kx 及 y=x² 等不同方式趋近,得到的极限值各不相同,因此极限不存在.