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x,y均为实数,且x^2+xy+y^2=3,求x^2-xy+y^2的最值
题目详情
x,y均为实数,且x^2+xy+y^2=3,求x^2-xy+y^2的最值
▼优质解答
答案和解析
∵x,y均为实数(特别注意是实数,而不是正实数)
∴3-3xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2≥0
解得xy≤1
且3+xy=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2≥0
解得xy≥-3
综上：-3≤xy≤1 (1)
把x^2+y^2=3-xy代入
x^2-xy+y^2=3-2xy
由(1) 3-2xy≥3-2*1=1 3-2xy≤3-2*(-3)=9
因此x^2-xy+y^2的最小值为1,最大值为9
∴3-3xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2≥0
解得xy≤1
且3+xy=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2≥0
解得xy≥-3
综上：-3≤xy≤1 (1)
把x^2+y^2=3-xy代入
x^2-xy+y^2=3-2xy
由(1) 3-2xy≥3-2*1=1 3-2xy≤3-2*(-3)=9
因此x^2-xy+y^2的最小值为1,最大值为9
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