如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四边形OAED为矩形，
而OD=OA，
∴四边形OAED为正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE=(AE)/(AB)=(1)/(2)；
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE=(1)/(2)，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP=(EP)/(AE)=(1)/(2)，
∴EP=1，
∴AP=√(AE2+EP2)=√(5)．