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已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|AB|长为半径,在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N,P是MN的中点.(1)求实数a的取值范围;(2)求|AM|+|AN|的值;(3)是否
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已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|AB|长为半径,在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N,P是MN的中点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求|AM|+|AN|的值;
(3)是否存在这样的a值,使|AM|,|AP|,|AN|成等差数列?
(1)求实数a的取值范围;
(2)求|AM|+|AN|的值;
(3)是否存在这样的a值,使|AM|,|AP|,|AN|成等差数列?
▼优质解答
答案和解析
(1)设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′,N′,P′,由抛物线定义得:|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a,
又圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16,将y2=4ax代入得:x2-2(4-a)•x+a2+8a=0,
∴△=4(4-a)2-4(a2+8a)>0,
∴a<1;
(2)由(1)知,xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.
(3)假设存在这样的a,使得:2|AP|=|AM|+|AN|,
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|,
∴|AP|=|PP′|.
由定义知点P必在抛物线上,这与点P是弦MN的中点矛盾,
所以这样的a不存在.
又圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16,将y2=4ax代入得:x2-2(4-a)•x+a2+8a=0,
∴△=4(4-a)2-4(a2+8a)>0,
∴a<1;
(2)由(1)知,xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.
(3)假设存在这样的a,使得:2|AP|=|AM|+|AN|,
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|,
∴|AP|=|PP′|.
由定义知点P必在抛物线上,这与点P是弦MN的中点矛盾,
所以这样的a不存在.
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