如图，在△ABC中，AB=AC（1）P为BC上的中点，求证：AB2-AP2=PB•PC；（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系

Question

如图，在△ABC中，AB=AC

（1）P为BC上的中点，求证：AB²-AP²=PB•PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．

Answer 1

证明：（1）如右图所示，连接AP，
∵AB=AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP=CP，
在Rt△ABP中，AB²=BP²+AP²，
∴AB²-AP²=BP²，
又∵BP=CP，
∴BP•CP=BP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
同理，AP²=AD²+DP²，
∴AB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²，
又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，
∴BP•CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD²-DP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．