（1）如图所示，在△ABC中，AD丄BC于D，AE平分∠BAC，且∠C大于∠B，求证：∠EAD=12（∠C-∠B）．（2）若把问题（1）中的“AD丄BC”改为“点F为EA上一点且FD丄BC于D”，画出新的图形，并试说明

Question

（1）如图所示，在△ABC中，AD丄BC于D，AE平分∠BAC，且∠C大于∠B，求证：∠EAD=(1)/(2)（∠C-∠B）．
（2）若把问题（1）中的“AD丄BC”改为“点F为EA上一点且FD丄BC于D”，画出新的图形，并试说明∠EFD=(1)/(2)（∠C-∠B）．
（3）若把问题（2）中的“F为EA上一点”改为“F为AE延长线上的一点”，则问题（2）中的结论成立吗？请说明你的理由．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ADE中，
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AED，
∵∠AED=∠AEC=180°-∠C-∠CAE，且AE平分∠BAC，
∴∠CAE=(1)/(2)∠BAC=(1)/(2)（180°-∠C-∠B），
∴∠DAE=90°-[180°-∠C-(1)/(2)（180°-∠C-∠B）]=(1)/(2)（∠C-∠B）．

（2）由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+(1)/(2)∠BAC，
故∠B+(1)/(2)∠BAC+∠EFD=90°；①
在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180°，
即：(1)/(2)∠C+(1)/(2)∠B+(1)/(2)∠BAC═90°，②
②-①，得：∠EFD=(1)/(2)（∠C-∠B）．

（3）由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+(1)/(2)∠BAC，
故∠B+(1)/(2)∠BAC+∠EFD=90°；①
在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180°，
即：(1)/(2)∠C+(1)/(2)∠B+(1)/(2)∠BAC═90°，②
②-①，得：∠EFD=(1)/(2)（∠C-∠B）．