设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：（1）ab+bc+ca≤13；（2）a2b+b2c+c2a≥1．

Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（1）ab+bc+ca≤(1)/(3)；
（2）(a2)/(b)+(b2)/(c)+(c2)/(a)≥1．

Answer 1

证明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，②
由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，
∴ab+bc+ac≤(1)/(3)；
（2）∵a，b，c均为正数，
∴(a2)/(b)+b≥2a，(b2)/(c)+c≥2b，(c2)/(a)+a≥2c，
∴(a2)/(b)+(b2)/(c)+(c2)/(a)+a+b+c≥2（a+b+c），
∴(a2)/(b)+(b2)/(c)+(c2)/(a)≥a+b+c，a+b+c=1，
∴(a2)/(b)+(b2)/(c)+(c2)/(a)≥1．