已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0恰好有一个公共实数根,则a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab的值为多少?

Question

已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0恰好有一个公共实数根,
则a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab的值为多少?

Answer 1

三个方程相加,有:(a+b+c)(x^2+x+1)=0
因此有:a+b+c=0
此时显然X=1都为各方程的根.
由a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
得a^3+b^3+c^3=3abc
因此a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab=(a^3+b^3+c^3)/(abc)=3