设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足∫xaf(t)dt≥∫xag(t)dt，x∈[a，b），∫baf(t)dt＝∫bag(t)dt．证明：∫baxf(x)dx≤∫baxg(x)dx．

Question

设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足

∫

x  a

f(t)dt≥

∫

x  a

g(t)dt，x∈[a，b），

∫

b  a

f(t)dt＝

∫

b  a

g(t)dt．
证明：

∫

b  a

xf(x)dx≤

∫

b  a

xg(x)dx．

Answer 1

令F（x）=f （x）-g（x），G(x)＝

∫

x  a

F(t)dt，
则：G(x)＝

∫

x  a

F(t)dt=

∫

x a

[f(t)−g(t)]dt
由题设

∫

x a

f(t)dt≥

∫

x a

g(t)dt；
因此：G（x）≥0，x∈[a，b]，
易知：G（a）=

∫

a a

F(t)dt=0
G（b）=

∫

b a

F(t)dt=

∫

b a

f(t)dt-

∫

b a

g(t)dt=0'
又G'（x）=f（x）-g（x）=F（x）．
因此：

∫

b  a

xF(x)dx＝

∫

b  a

xdG(x)＝

xG(x)|

b a

−

∫

b  a

G(x)dx＝−

∫

b  a

G(x)dx，
由于 G（x）≥0，x∈[a，b]，故有−

∫

b  a

G(x)dx≤0，
即 

∫

b  a

xF(x)dx≤0．
因此 

∫

b  a

xf(x)dx≤

∫

b  a

xg(x)dx．
命题得证．