函数f（x）=x²+ax+3（1）当x∈R时,f（x）≥a恒成立,求实数a的取值范围（2）当x∈-2,2时,f（x）≥a恒成立,求实数a的取值范围

Question

函数f（x）=x²+ax+3
（1）当x∈R时,f（x）≥a恒成立,求实数a的取值范围
（2）当x∈【-2,2】时,f（x）≥a恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1） f(x)≥a恒成立,即有：x^2+ax+3≥a恒成立,所以有x^2+ax+3-a≥0
于是考察二次函数g(x)=x^2+ax+3-a,图像开口向上,有最小值,在顶点处取得
对称轴为x=-a/2,所以最小值为,min g(x)=g(-a/2)=a^2/4-a^2/2+3-a=-a^2/4-a+3
是最小值≥0,即有-a^2/4-a+3≥0,
即解方程 a^2+4a-12≤0 得(a+6)(a-2)≤0
解得a的范围为： -6≤a≤2
（2）同理,也是求二次函数g(x)=x^2+ax+3-a的最小值,使其g(x)≥0
但这里的x,并不是没有限制,而是x∈[-2,2],所以是在[-2,2]上找g(x)的最小值
可以分类讨论：
1、对称轴x=-a/2∈[-2,2]时,即,a∈[-4,4]时,
与第（1）题一样,得 -6≤a≤2
结合条件,得 a的取值范围为： a∈[-4,2]
2、对称轴x=-a/2>2时,即 a g(x)的最小值在 x=2处取得,于是 g(x)=4+2a+3-a≥0
解得 a≥-7
结合条件,得 a的取值范围为： a∈[-7,-4）
3、对称轴x=-a/24时
g(x)的最小值在 x=-2处取得,于是 g(x)=4-2a+3-a≥0
解得 a≤7/3
与条件 a>4,矛盾,不成立
于是,综上所述,得 a的取值范围为：a∈[-7,-2] (就是把上面的取值范围并起来)