设f（x）=loga（x-2a）+loga（x-3a），其中a＞0且a≠1．（1）已知f（4a）=1，求a的值；（2）若在区间[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．

Question

设f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），其中a＞0且a≠1．
（1）已知f（4a）=1，求a的值；
（2）若在区间[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），
∴f（4a）=log_a2a+log_aa=1，
∴log_a2a=0，即2a=1，
∴a=(1)/(2)．
（2）f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）=log_a（x²-5ax+6a²）=loga[(x−(5a)/(2))2−(a2)/(4)]，
根据题意可知，

x−2a＞0

x−3a＞0

，解得，x＞3a，
∴a+3＞3a，即a＜(3)/(2)，
∴（a+3）-(5a)/(2)=(3)/(2)(a−2)＞0，
∴g（x）=(x−(5a)/(2))2−(a2)/(4)在区间[a+3，a+4]上单调递增．
①若0＜a＜1，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递减，
∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+3）=log_a（2a²-9a+9），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-9a+9）≤1，
∴2a²-9a+9≥a，解得a≥(5+√(7))/(2)或a≤(5−√(7))/(2)，
又∵0＜a＜1，
∴0＜a＜1．
②若1＜a＜(3)/(2)，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，
∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+4）=log_a（2a²-12a+16），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-12a+16）≤1，
∴2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得(13−√(41))/(4)≤a≤(13+√(41))/(4)，
∵1＜a＜(3)/(2)且(13−√(41))/(4)＞(3)/(2)，
∴a∈∅．
综合①②，a的取值范围为（0，1）．