已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(-sinx/2,-cosx/2),其中x属于[π/2,π],1.|a+b|=根号3,求x值2.函数f(x=a*b+|a+b|^2,若c＞f(x)恒成立,求实数c的取值范围以上两问,

Question

已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(-sinx/2,-cosx/2),其中x属于[π/2,π],1.|a+b|=根号3,求x值
2.函数f(x=a*b+|a+b|^2,若c＞f(x)恒成立,求实数c的取值范围
以上两问,

Answer 1

1、|a+b|^2 = (cos3/2x - sinx/2)^2 + (sin3/2x - cosx/2)^2 = 3
(cos3/2x)^2 -2*cos3/2x*sinx/2 +(sinx/2)^2 + (sin3/2x)^2 -2*sin3/2xcosx/2 +(cosx/2)^2 =3
利用正余弦平方和=1,以及积化和差公式,整理可得
2 - 2sin2x = 3,sin2x = -1/2,x∈[π/2,π],2x∈[π,2π]
所以2x = 7π/6,或者2x = 11π/6,则x = 7π/12,或11π/12
2、即求f(x)最大值,|a|=|b|=1,夹角cosα = (-cos3/2xsinx/2 -sin3/2xcosx/2) / (|a||b|)=sin2x
f(x)=a*b+|a+b|^2 =|a||b|cosα+ 2-2sin2x =2-sin2x >=1
所以 c>1