简单的导数应用：已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx1.当x属于0,π/2时,g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围2.求证sin1+2sin1/2+3sin1/3+...+nsin1/n>(6n^2-2n+1)/6n第二题尽力做吧,第一题我化简到a≥1/x^2然后就不

Question

简单的导数应用：已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx
1.当x属于 【0,π/2】时,g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围
2.求证sin1+2sin1/2+3sin1/3+...+nsin1/n>(6n^2-2n+1)/6n
第二题尽力做吧,第一题我化简到a≥1/x^2然后就不知道怎么求1/x^2的最大值了?感觉正无穷啊

Answer 1

（1）由g(x)>=f(x)可得sinx>=x-ax^3,从而可得a>=(x-sinx)/(x^3)=y(x); 则有y’(x)=[(1-cosx)x-3(x-sinx)]/x^4 ,继续令h(x)=3sinx-2x-xcosx ,从而有h’(x)=2cosx-2+xsinx,
h’’(x)=xcosx-sinx ,h’’’(x)=-cosx ,故而有h’’(x)单调递减,有h’’(x)=0.5n(n+1)-1/6(1.5-1/n) =0.5n(n+1)+1/(6n)-1/4
\x05>n-1/3+1/(6n)=(6n^2-2n+1)/6n
命题得证.