设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设g(x)＝f(x)+aex，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于

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设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设g(x)＝f(x)+

，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得1n+3n+…+(2n−1)n＜

e−1

(an)n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna．
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，
∴alna≤0，
∴a_max=1．
（2）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴g（x）=f（x）+

=ex+

−ax−a．
∵a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，
∴g′（x）=e^x-

-a≥2

ex•(−

)

-a=-a+2

−a

=m，（a≤-1），
解得m≤3，
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
（3）设t（x）=e^x-x-1，
则t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．
∴t（x）最小值为t（0）=0，故e^x≥x+1，
取x＝−

，i＝1，3，…，2n−1，
得1−

≤e−

，即(

2n−i

)n≤e−

，
累加得(

)n+(

)n+…+(

2n−1

)n＜e−

2n−1

+e−

2n−3

+…+e−

＝

e−

(1−e−n)

1−e−1

＜