已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a≠-1)的图像上任意一点都不在直线y=x的下方,(1)求证：a+b+c≥1（2）设g（x）=x2+x+3,F(x)=f(x)+g(x),若F(0)=5且F（x）的最小值等于2,求f(x)的解析式

Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a≠-1)的图像上任意一点都不在直线y=x的下方,
(1)求证：a+b+c≥1
（2）设g（x）=x2+x+3,F(x)=f(x)+g(x),若F(0)=5且F（x）的最小值等于2,求f(x)的解析式

Answer 1

1）依题意有f(x)>=x
故f(1)>=1
即a+b+c>=1
2)F(x)=(a+1)x^2+(b+1)x+c+3为二次函数
F(0)=c+3=5,得：c=2
最小值为2,故可得：5-(b+1)^2/[4(a+1)]=2, 得：(b+1)^2=12(a+1),得：a=(b+1)^2/12-1
再由f(x)>=x,即ax^2+(b-1)x+2>=0恒成立,
故a>0, 且 (b-1)^2-8a<=0
故有(b-1)^2<=8a=8[(b+1)^2/12-1]
b^2-10b+25<=0
(b-5)^2<=0
得：b=5
故: a=2
因此f(x)=2x^2+5x+2