已知二次函数y=ax2+bx+c，且不等式ax2+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3（1）若方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根，求二次函数的表达式；（2）若y=ax2+bx+c的最大值为正数，求a的取值范围．

Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，且不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3
（1）若方程ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根，求二次函数的表达式；
（2）若y=ax²+bx+c的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-6），
根据题意得

a+b+c＝−2

9a+3b+c＝−6

b2−4a(c+6a)＝0

，
解得

a＝−(1)/(5)

b＝−(6)/(5)

c＝−(3)/(5)

或

a＝1

b＝−6

c＝3

（不合题意，舍去），
∴二次函数的表达式为y=-(1)/(5)x²-(6)/(5)x-(3)/(5)．

（2））∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-6），a＜0，
∴

a+b+c＝−2

9a+3b+c＝−6

∴b=-2-4a，c=3a，
∵y=ax²+bx+c的最大值为正数，
∴b²-4ac＞0，
即（-2-4a）²-4a•3a＞0，解得a＞-2+√(3)或a＜-2-√(3)．
所以a的取值为a＞-2+√(3)或a＜-2-√(3)．