用严格的（必须严格）数学归纳法,证明当n（自然数）大于3时,n^(n+1）大于（n+1)^n

Question

用严格的（必须严格）数学归纳法,证明当n（自然数）大于3时,n^(n+1）大于（n+1)^n

Answer 1

设f(n)=n^(n+1)-(n+1)^n,(n>=3),
f(3)=81-64=17>0,
f(n+1)-f(n)=(n+1)^(n+2)-(n+2)^(n+1)-n^(n+1)+(n+1)^n
=(n+1)^n*[(n+1)^2+1]-{[(n+1)+1]^(n+1)+[(n+1)-1]^(n+1)}
=(n+1)^n*(n^2+2n+2)-2∑c(n+1,2i)*(n+1)^(n+1-2i)
>2(n+1)^(n+1)-2∑c(n+1,2i)*(n+1)^(n+1-2i)
>0,
∴f(n+1)>f(n),
由数学归纳法,当n>=3时,f(n)>0,
∴命题成立.