若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．

Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），满足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（0）=2，解得：c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2（a≠0），
由f（x+2）-f（x）
=[a（x+2）²+b（x+2）+2]-[ax²+bx+2]
=4ax+4a+2b
=16x，
∴

4a＝16

4a+2b＝0

，解得：

a＝4

b＝−8

，
∴f（x）=4x²-8x+2；
（Ⅱ）∵∃x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m，
即∃x∈[1，2]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，
令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，2]，
故g（x）_最大=g（2）=-2，
∴m＜-2．