已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；  
（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得c=1，-(b)/(2a)=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1；  …（3分）
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，对称轴为x=(k-2)/(2)，图象开口向上
当(k-2)/(2)≤-2即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=k+3；…（5分）
当-2＜(k-2)/(2)≤2即-2＜k≤6时，F（x）在[-2，(k-2)/(2)]上递减，在[(k-2)/(2)，2]上递增，
此时函数F（x）的最小值g(k)=F((k-2)/(2))=-(k2-4k)/(4)；      …（7分）
当(k-2)/(2)＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；             …（9分）
综上，函数F（x）的最小值g(k)=

k+3，         k≤-2

-(k2-4k)/(4)， -2＜k≤6

9-2k，       k＞6

；    …（10分）