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(2014•玄武区二模)若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1,其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2,其顶点为B,且满足点A在C2上,点B在C1上,则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”
题目详情
(2014•玄武区二模)若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1,其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2,其顶点为B,且满足点A在C2上,点B在C1上,则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”.
(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有______个;
(2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点;
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”.
(3)试探究a1与a2满足的数量关系.
(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有______个;
(2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点;
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”.
(3)试探究a1与a2满足的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)无数;
(2)①令y=0,即x2+3x+2=0.
解得:x1=-1,x2=-2.
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为(-2,0),(-1,0). (3分)
②∵y=x2+3x+2=(x+
)2-
∴顶点坐标为(-
,-
).
设以(-2,0)为顶点且经过(-
,-
)的抛物线的函数关系式为
y=a(x+2)2,
将x=-
,y=-
代入y=a(x+2)2得 a=-1.
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=-(x+2)2=-x2-4x-4,
同理可求以(-1,0)为顶点且经过(-
,-
)的抛物线的函数关系式.
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=-(x+1)2=-x2-2x-1;
(3)设y=a1(x+m)2+n,其顶点为(-m,n);
y=a2(x+h)2+k,其顶点为(-h,k).
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1(-h+m)2=-a2(-m+h)2.
当-h≠m时,a1=-a2
当-h=m时,a1、a2为任意不为零的实数.
(2)①令y=0,即x2+3x+2=0.
解得:x1=-1,x2=-2.
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为(-2,0),(-1,0). (3分)
②∵y=x2+3x+2=(x+
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设以(-2,0)为顶点且经过(-
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y=a(x+2)2,
将x=-
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∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=-(x+2)2=-x2-4x-4,
同理可求以(-1,0)为顶点且经过(-
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即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=-(x+1)2=-x2-2x-1;
(3)设y=a1(x+m)2+n,其顶点为(-m,n);
y=a2(x+h)2+k,其顶点为(-h,k).
根据“伴侣二次函数”定义可得
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∴a1(-h+m)2=-a2(-m+h)2.
当-h≠m时,a1=-a2
当-h=m时,a1、a2为任意不为零的实数.
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