二次型f(x1,x2,x3)=4x^2-3x3^+4x1x2-4x1x3+8x2x3用正交变换化二次型位标准型主要是求特征值步骤

Question

二次型f(x1,x2,x3)=4x^2-3x3^+4x1x2-4x1x3+8x2x3 用正交变换化二次型位标准型
主要是求特征值步骤

Answer 1

|A - xE| =
x -2 2
-2 x-4 -4
2 -4 x+3
r3-2r1
x -2 2
-2 x-4 -4
2-2x 0 x-1
c1+2c3
x+4 -2 2
-10 x-4 -4
0 0 x-1
= (x-1)[(x+4)(x-4)-20]
= (x-1)(x^2-36)
= (x-1)(x+6)(x-6)
A的特征值为:1,6,-6
(A-E)X = 0 的基础解系为:a1=(-2,0,1)'
(A-6E)X = 0 的基础解系为:a2=(1,5,2)'
(A+6E)X = 0 的基础解系为:a3=(1,-1,2)'
单位化得
b1=(-2/√5,0,1√5)'
b2=(1/√30,5/√30,2/√30)'
b3=(1/√6,-1/√6,2/√6)'
P = (b1,b2,b3),X=PY,则有
f = y1^2 + 6y2^2 - 6y3^2